Методические рекомендации

Методические рекомендации

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
для участников математических боёв
Санкт-Петербургского Турнира юных математиков

Предлагаемые на Турнире задания, в отличие от олимпиадных задач, носят исследовательский характер. Полные решения и наилучшие обобщения этих задач неизвестны даже авторам. В частности, наиболее полное решение (исследование) задачи не подразумевает, что нужно решить все пункты задачи. В ряде задач интерес представляют даже первые пункты или отдельные частные случаи заданий (например, для небольших значений параметров). Вполне вероятно, что участники смогут усилить ряд утверждений, приведенных непосредственно в формулировках задач. Кроме рассмотрения исходной постановки полезно рассмотреть собственные направления, которые необязательно должны совпадать с предложениями авторов. Оформление каждой задачи должно начинаться с титульного листа, на котором нужно указать номер задачи и ее название, название учреждения образования, название команды, автора(ов) исследования (решения). Ниже на титульном листе (или на втором листе) следует дать краткое резюме проведенного исследования — какие пункты были решены, какие обобщения были приведены. Должны быть четко сформулированы главные достижения работы (утверждения, примеры, гипотезы).

Часть 1. Исполнение ролей в математическом бою

Докладчик в своем основном выступлении должен кратко, но максимально полно и четко изложить результаты, полученные командой по задаче, дать ясное представление об использованных методах. Результатами могут являться как конкретные утверждения, так и метод решения, придуманный командой, идеи, или способ применения тех или иных методов (утверждений) к решению других задач, или даже специально построенный контрпример. Кроме того, докладчик может сравнить собственные результаты с имеющимися в литературе известными результатами по задаче. В заключении доклада необходимо сделать резюме — кратко сформулировать важнейшие, с точки зрения Докладчика, результаты.

Докладчик должен стремиться к тому, чтобы его выступление было понятно аудитории. Жюри оценивает только те результаты докладчика, которые указаны в его письменных материалах. Ожидается, что технические детали не будут подробно обсуждаться в выступлении докладчика. В презентации докладчик может обозначить найденные им несущественные ошибки и неточности в собственной работе.

Одной из задач Докладчика также является анализ выступления Оппонента, согласие или несогласие с замечаниями последнего.

Оппонент начинает свое выступление с оценки презентации работы Докладчика, указывает на расхождения между письменной работой и устным выступлением (если таковые имеются). Затем Оппонент проводит анализ письменной работы Докладчика, задаёт Докладчику уточняющие вопросы, обсуждает с Докладчиком существенные и несущественные неточности в доказательствах (за исключением опечаток, указанных в соответствующей письменной рецензии), неверные утверждения (если таковые имеются) 1

и оценивает влияние соответствующих ошибок на другие результаты Докладчика. Оппонент должен стремиться к тому, чтобы поднимать в дискуссии актуальные темы, задавать интересные вопросы, делая дискуссию плодотворной. Таковыми могут быть:

  • Докладчик, у Вас ошибка в третьем пункте. Докладчик, оцените её существенность. Можете ли Вы сейчас её исправить?
  • Докладчик, решение четвертого пункта туманно, написано непонятно. Не могли бы Вы пересказать доказательство, проиллюстрировать его на примере, доказать с нуля?
  • Докладчик, в первом пункте вы формулируете вот такое утверждение и оставляете его без какого-либо доказательства. Вы можете сейчас его доказать?
  • В пункте шесть Вы формулируете вот такую теорему. Как Вы думаете, она обобщается вот так вот?
  • Докладчик, как Вы додумались до решения с помощью такой интересной техники? Поделитесь источником вдохновения.
  • Докладчик, в решении пункта два вы не рассматриваете вот такой вот случай. Считаете ли Вы это (существенной) ошибкой?
  • Докладчик, кажется, Вас можно уличить в списывании пункта три. В такой-то книжке я нашел точную копию Вашего доказательство. Признаёте ли Вы факт плагиата?
  • Докладчик, кажется, Вас можно уличить в несамостоятельности решения пункта два, он написан ясным языком и решен на продвинутом уровне, не сопоставимым с Вашим устным выступлением и решением других пунктов. Самостоятельно ли Вы решали этот пункт?
  • Докладчик, кажется, Вас можно уличить в халтуре. Вы решаете половину пункта три, но даже не пытаетесь изучить его вторую половину, а ведь Ваши результаты позволяют сделать это. Верно ли, что Вы просто уделили исследованию недостаточное количество времени?

Оппонент может дать собственную оценку Докладчику в соответствие с формальными критериями оценивания. В случае, когда, по мнению Оппонента, в работе Докладчика отсутствуют ошибки, Оппонент может обсудить с Докладчиком смежные к задаче вопросы, возможные обобщения результатов Докладчика и другие интересные вещи.

По окончании дискуссии жюри даст немного времени Докладчику на согласие или несогласие с выступлением Оппонента. После этого Оппонент должен подвести итог дискуссии путем оценки каждого из пунктов задачи, представленных в письменном решении Докладчика. При этом необходимо использовать следующую шкалу оценок:

  • верный и правильно доказанный результат,
  • верный результат с несущественными ошибками в доказательстве,
  • верный, но недоказанный результат (доказательство отсутствует или в нем допущены серьезные ошибки),
  • сомнительный результат (и, разумеется, недоказанный),
  • неверный результат.

Наконец, в своем выступлении Оппонент должен дать общую оценку доклада, указав важнейшие, с его точки зрения, результаты, степень их обоснованности (доказанности). При выступлении Оппоненту разрешается иметь на руках как письменные материалы Докладчика, так и личные записи (в любом виде).

Выступление Рецензента должно начинаться с полного анализа прошедшей дискуссии между Оппонентом и Докладчиком. После комментирования каждой из поднятых Оппонентом тем Рецензент качественно оценивает дискуссию между Оппонентом и Докладчиком: была ли дискуссия плодотворной, задавал ли Оппонент интересные вопросы. Тем самым, Рецензент оценивает выступление Оппонента и ответы Докладчика. Рецензент может дать собственную оценку Оппоненту и Докладчику в соответствие с формальными критериями оценивания.

Затем Рецензент устанавливает объективность оценки Оппонентом письменного решения и устного выступления Докладчика. В случае необходимости Рецензент дает свою оценку доклада (например, если его оценка не совпадает с общей оценкой Оппонента, или в докладе есть недостатки, не замеченные Оппонентом, и т.п.).

Наконец, Рецензент задаёт Оппоненту уточняющие вопросы, проверяет понимание Оппонента как письменных материалов Докладчика, так и соответствующей задачи.

Каждая команда-Наблюдатель имеет право на участие в дискуссии, если у нее имеются существенные дополнения или замечания, вызванные ходом дискуссии и не указанные Докладчиком, Оппонентом и Рецензентом (и предыдущим по порядку наблюдателем, если такой уже выступил). Малосодержательные выступления Наблюдателей, необоснованно затягивающие дискуссию, получают отрицательную оценку, снижающую итоговую сумму баллов наблюдающей команды. После своего выступления Наблюдатель покидает бой, он не имеет права участвовать в дискуссии, а жюри не имеют права задавать ему вопросы.

Часть 2. Оценивание членами жюри

Жюри боя определяет результаты каждого раунда и математического боя в целом посредством выставления оценок каждому из его участников. Эти оценки должны основываться на обязанностях участников боя. Оценка команды является суммой оценок, полученных командой в каждом раунде. В каждом раунде Докладчику, Оппоненту, Рецензенту и Наблюдателю жюри выставляют оценку, придерживаясь формальных критериев оценивания, которые описаны ниже. По каждой из позиций каждому участнику боя выставляется определенный балл, а затем эти баллы суммируются по всем позициям.

Оценивание Докладчика. Позиции:

  • Научная часть (от 1 до 7 баллов): полнота исследования, верность результатов и доказательств, собственные развития исследовательской задачи, глубина и оригинальность методов. Доведенные до совершенства исследования оцениваются в 7 баллов. Если в исследовании отсутствуют содержательные собственные развития задачи, такое исследование оценивается максимум в 6 баллов. Полные решения с несущественными ошибками оцениваются в 5-6 баллов. Неполные решения с несущественными ошибками, а также полные решения с существенными ошибками оцениваются в 4-5 баллов. Неполные решения с существенными ошибками оцениваются в 3-4 балла. Решения без значительных продвижений, имеющие несущественные ошибки, оцениваются максимум в 3 балла. Оригинальные идеи в решении поощряются дополнительными баллами.
  • Оформление письменных материалов и устное выступление (от 0 до 1 балла): структура, стиль и качество текста и речи, оригинальность выступления. По умолчанию выставляется 0 баллов. В избранных случаях выставляется 1 балл.
  • Дискуссия (от -1 до 1 баллов): четкость и убедительность ответов на вопросы участников боя, находчивость, инициативность при ответах на вопросы жюри, культурность и вежливость. По умолчанию выставляется 0 баллов. Проявление инициативы, содержательность ответов способствуют повышению баллов, а неспособность ответить на вопросы и нарушение этических норм научной дискуссии приводит к снижению баллов.
  • Контрольные вопросы жюри (от -2 до 1 балла): глубина понимания задачи, знание соответствующей математической области. По умолчанию выставляется 1 балл. Неправильные ответы приводят к снижению баллов.

Оценивание Оппонента. Позиции:

  • Форма дискуссии (от -1 до 1 балла): четкость и убедительность ответов на вопросы участников боя, находчивость, способность поддержать обсуждение, инициативность, общее впечатление, культурность и вежливость. По умолчанию выставляется 0 баллов.
  • Содержание дискуссии (от -1 до 1 балла): содержательность поднятых тем, интересность и актуальность заданных вопросов, качество проверки понимания Докладчиком задачи. По умолчанию выставляется 0 баллов.
  • Анализ исследования Докладчика (от 0 до 2 балла): глубина анализа. По умолчанию выставляется 0 баллов. Избранные выступления оцениваются в 2 балла.
  • Оценка письменного исследования и устного выступления Докладчика (от 0 до 1 балла). Выставляется 1 балл только в том случае, если Оппонент подвёл итог дискуссии путем оценки каждого из пунктов задачи, представленных в письменном решении Докладчика, и если его выводы соответствуют истине.
  • Контрольные вопросы жюри (от -1 до 1 балла): глубина понимания задачи, знание соответствующей математической области. По умолчанию выставляется 1 балл. Неправильные ответы приводят к снижению баллов.

Оценивание Рецензента. Позиции:

  • Форма дискуссии (от -1 до 1 балла): четкость и убедительность ответов на вопросы участников боя, находчивость, способность поддержать обсуждение, инициативность, общее впечатление, культурность и вежливость. По умолчанию выставляется 0 баллов.
  • Содержание дискуссии (от -1 до 1 балла): содержательность поднятых тем, интересность и актуальность заданных вопросов, качество проверки понимания Оппонентом задачи. По умолчанию выставляется 0 баллов.
  • Оценка дискуссии (от 0 до 1 балла): способность оценить дискуссию между докладчиком и оппонентом, их работу. Выставляется 1 балл только в том случае, если Рецензент оценивает дискуссию между Оппонентом и Докладчиком, и если его вывод соответствует истине.
  • Анализ дискуссии между Докладчиком и Оппонентом (от 0 до 2 баллов): полнота анализа, содержательность выбранных тем. По умолчанию выставляется 0 баллов. Избранные выступления оцениваются в 2 балла.
  • Контрольные вопросы жюри (от -1 до 1 балла): глубина понимания задачи, знание соответствующей математической области. По умолчанию выставляется 1 балл. Неправильные ответы приводят к снижению баллов.

Оценивание Наблюдателя. Позиции:

  • Замечания (от -2 до 2 баллов): актуальность и существенность выступления.

Оценивание письменных рецензий. Позиции:

  • Нахождение всех существенных и несущественных ошибок в письменных материалах (от 0 до 2 баллов).
  • Анализ содержания письменных материалов (от 0 до 1 балла): соответствие форме письменной рецензии, общее впечатление, стиль и качество.
  • Соответствие итоговой оценки истине (от 0 до 1 балла). Выставляется 1 балл только в том случае, если итоговая оценка адекватно отражает качество письменного решения, а также не противоречит тому, что сказано в соответствующей письменной рецензии.

Часть 3. Часто задаваемые вопросы

Вопрос. Необходимо ли решать все пункты задачи, указанные в основном списке задач математических боёв, или достаточно решить только самый общий пункт?

Ответ. Несомненно, если общий вопрос решен и решение остальных пунктов очевидно следует из него (при условии, что это указано в решении), жюри будет считать, что все пункты решены. Но важно помнить, что докладчик должен сделать презентацию подобного решения понятной для зрительской аудитории. Иногда это становится возможным только тогда, когда решение объясняется с помощью начальных пунктов.

Вопрос. Можно ли решать другую задачу вместо заявленной в опубликованном списке задач?

Ответ. Вообще говоря, да, это возможно. Команда может отклониться от предложенных постановок задач, если это поможет получить действительно интересные и значимые результаты: например, решение более сложной задачи, грамотное решение аналогичной задачи или ряд решений для более простой задачи. Тем не менее, предложенная командой задача должна быть близка к изначальной, а также жюри должно быть ясно, что команда сделала всё возможное, чтобы решить изначальную задачу.

Вопрос. Что делать команде, если перед докладом в её решении задачи обнаружилась ошибка?

Ответ. Быть честным и признать её в ходе выступления. Можно предоставить быстрые незначительные исправления. Что касается существенных ошибок и пробелов, упомяните о них без деталей решения и скажите, способны ли вы их исправить. В начале доклада можно добавить приложение к своей работе с соответствующими исправлениями. Имейте в виду, что жюри может не принять его. Они могут не повлиять на оценки жюри Докладчику. Но они могут повлиять на обсуждение с Оппонентом.

Вопрос. Какие теоретические вопросы могут быть заданы Оппонентом, Рецензентом или членами жюри Докладчику?

Ответ. Любые. Однако жюри ожидает, что Докладчик знает теорию, непосредственно участвующую в его решении. Если его результаты сильно основаны на известных утверждениях, методах и идеях, то он должен их понимать. Напротив, если заданные вопросы не связаны с его решением, но связаны с другой продвинутой теорией, и он сомневается, как лучше ответить, то он может честно сказать, например: «Мы не опирались на эту информацию и не использовали ее в нашем решении».

Вопрос. Что делать, если Оппоненту не удаётся найти ошибок в работе Докладчика? Ответ. Можно сделать следующее: задать подходящие вопросы по решению; прокомментировать новизну результатов Докладчика и перспективу дальнейших исследований; прокомментировать возможность улучшения, развития и применения результатов докладчика в других случаях; дать общую оценку работе Докладчика.

Вопрос. Что делать Рецензенту, если Оппонент отлично справился со своей задачей и нашел все ошибки в материалах Докладчика?

Ответ. Помните, что основная роль Рецензента — оценить дискуссию между Оппонентом и Докладчиком.

Вопрос. Разрешено ли Оппоненту и Рецензенту говорить о собственных результатах? Ответ. Оппонент и Рецензент не должны представлять собственные результаты и решения обсуждаемой задачи. Исключение составляют случаи, когда результаты служат аргументом в споре, например, если предоставленные материалы затрудняют оценку достоверности доказательства, а их собственные результаты противоречат результатам Докладчика. С разрешения жюри собственные результаты и идеи команды могут быть кратко описаны в заключительном выступлении и только с целью сравнительного анализа уровня результатов Докладчика. Качество и количество результатов, представленных Оппонентом, Рецензентом и Наблюдателем во время обсуждения, не повлияют на их окончательные оценки.